*** Surréservation

Une compagnie aérienne exploite un avion ayant une capacité de 200 places.
On estime que, sur ce vol, chaque passager à une probabilité  `p=0,8` de se présenter à l'embarquement. On suppose que les présences individuelles des passagers à l'embarquement sont indépendantes.

La compagnie souhaite vendre davantage de billets que de places disponibles tout en limitant le risque de voir trop de personnes se présenter à l'embarquement.

Soit  `n` un entier strictement supérieur à 200, correspondant au nombre de billets vendus. On note  `S_n` le nombre de personnes se présentant à l'embarquement.

1. Quelle est la loi de  `S_n` ? Que valent son espérance et sa variance ?

2. On suppose que `n<250` .
    a. Justifier que, si \(S_n \geqslant 200\) , alors \(|S_n-0.8n| \geqslant 200-0,8n\) .
    b. En déduire que  \(P(S_n \geqslant 200) \leqslant \dfrac{0,16n}{(200-0,8n)^2}\) .

3. À l'aide du résultat précédent, déterminer le nombre de billets que la compagnie peut vendre tout en s'assurant  avec une probabilité inférieure à 5 % que plus de 200 clients se présenteront à l'embarquement.